\subsection{简单的高次方程}\label{subsec:11-7}

一个整式方程经过整理后，如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次数大于 $2$，这样的方程叫做\zhongdian{一元高次方程}。
有些特殊的一元高次方程，可以化为一元一次方程或者一元二次方程来解。

\liti 解方程 $x^3 - 2x^2 - 15x = 0$。

\jie 将方程左边分解因式，
\begin{gather*}
    x(x^2 - 2x - 15) = 0 \douhao \\
    x(x + 3)(x - 5) = 0 \juhao
\end{gather*}

由此得 $x = 0$， 或 $x + 3 = 0$， 或 $x - 5 = 0$。

所以原方程有三个根：
$$ x_1 = 0 \nsep x_2 = -3 \nsep x_3 = 5 \juhao $$


\liti 解方程 $x^4 - 6x^2 + 5 = 0$。

\jie 设 $x^2 = y$，那么 $x^4 = y^2$，于是原方程变为
$$ y^2 - 6y + 5 = 0 \juhao $$

解这个方程，得
$$ y_1 = 1 \nsep y_2 = 5 \juhao $$

当 $y = 1$ 时， $x^2 = 1$，

\fengeSuoyi{x = \pm 1 \fenhao}

当 $y = 5$ 时， $x^2 = 5$，

\fengeSuoyi{x = \pm \sqrt{5} \juhao}

所以原方程有四个根：
$$ x_1 = 1 \nsep x_2 = -1 \nsep x_3 = \sqrt{5} \nsep x_4 = -\sqrt{5} \juhao $$

象例 2 那样，只含有未知数的偶次项的一元四次方程，叫做\zhongdian{双二次方程}。
这类方程，通常用换元法来解，即用辅助未知数 $y$ 代替方程里的 $x^2$， 使这个双二次方程变为关于 $y$ 的一元二次方程。
求出 $y$ 的值后，就可进一步求出原方程的根。


\liti 解方程 $(x^2 - x)^2 - 4(x^2 - x) - 12 = 0$。

\jie 设 $x^2 - x = y$，原方程变为
$$ y^2 - 4y - 12 = 0 \juhao $$

解这个方程，得
$$ y_1 = 6 \nsep y_2 = -2 \juhao $$

当 $y = 6$ 时， $x^2 - x = 6$，即
$$ x^2 - x - 6 = 0 \juhao $$

解这个方程，得
$$ x_1 = -2 \nsep x_2 = 3 \fenhao $$

当 $y = -2$ 时， $x^2 - x = -2$，即
$$ x^2 - x + 2 = 0 \juhao $$

$\because$ \quad $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 2 = -7 < 0$，

$\therefore$ \quad 这个方程没有实数根。

因此，原方程有两个实数根：
$$ x_1 = -2 \nsep x_2 = 3 \juhao $$


\lianxi
\begin{xiaotis}

解下列方程：

\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \huitui\begin{tblr}[t]{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$x^3 - 8x^2 + 15x = 0$；} & \xxt{$x^3 + 7x^2 - 60x = 0$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \huitui\begin{tblr}[t]{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$；} & \xxt{$x^4 - 14x^2 + 45 = 0$；} \\
        \xxt{$3x^4 - 2x^2 - 1 = 0$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}

\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \huitui\begin{tblr}[t]{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$(x^2 + 2x)^2 - 14(x^2 + 2x) - 15 = 0$；} & \xxt{$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$。}
    \end{tblr}

\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}

